A sucesión de Fibonacci

on
Monumento adicado a Fibonacci que hai en Barcelona.
Monumento adicado a Fibonacci que hai en Barcelona.

A sucesión de Fibonacci é un dos exemplos cos que a beleza das matemáticas queda plasmada claramente. Seguramente xa coñecida por moitos de vós, esta sucesión infinita de números creada co sinxelo algoritmo de unha vez fixados os números iniciais (0 e 1), irase construíndo sumando os dous números anteriores formando a seguinte cadea:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

Orixe

Esta sucesión ten a súa orixe nun problema formulado polo matemático italiano Leonardo de Pisa (tamén coñecido como Fibonacci) no século XII. Dito problema era o seguinte:

Un granxeiro ten unha parella de coellos nun lugar pechado, sabendo que o tempo de xestación e de madurez sexual dos coellos é, en ambos casos, dun mes e que dan a luz outra  parella, cantos coellos teremos unha vez transcorridos X meses?

A solución a este problema podémola ver de forma moi sinxela no seguinte cadro:

Mes   Parellas
0 Nace a primeira parella. (Parella 1) 1
1 Crúzase a Parella 1. 1
2 A parella 1 da a luz a parella 2 e volvese cruzar. 2
3 A parella 1 da a luz a parella 3 e volvese cruzar. A parella 2 crúzase. 3
4 As parella 1 e 2 dan a luz ás parellas 4 e 5; e estas vólvense cruzar. A parella 3 crúzase. 5
5 As parellas 1, 2 e 3 dan a luz ás parellas 6, 7 e 8; e estas vólvense cruzar. As parellas 4 e 5 crúzanse. 8
6 13
7 21
Unha visión máis gráfica da solución do problema.
Unha visión máis gráfica da solución do problema.

A sucesión de Fibonacci e o número φ

Aínda que poida parecer estraño nun principio, o certo é que a sucesión de Fibonacci está intimamente relacionada co número áureo (do que xa falamos nun artigo anterior). Dita relación provén do feito de que se collemos dous termos sucesivos da secuencia e dividimos o número maior entre o menor, o resultado obtido tenderá a acercarse cada vez máis e máis á razón áurea a medida que tomamos números maiores.

Non só a sucesión de Fibonacci posúe a relación coa razón áurea, senón que calquera sucesión que sume os dous termos anteriores (é dicir, non ten porque ter de base os números 0 e 1), a división entre termos sucesivos tenderá ao número φ. Por exemplo: 3, 4, 7, 11, 18, 29 …

A sucesión de Fibonacci fora das matemáticas

A maioría das propiedades do número áureo están intimamente relacionadas con esta sucesión. Un claro exemplo situámolo na xeometría. Ao construír unha sucesión de cadrados de dispostos en forma de espiral (como se ve na imaxe) obtemos cadrados que teñen de área os sucesivos termos desta secuencia, que ao facerse máis e máis grande a figura resultante tenderá a ser un rectángulo áureo.

FibonacciBlocks

Tamén na natureza podemos ver os termos da famosa sucesión. En estudos de botánica observouse que a disposición das follas nas plantas (filotaxia) está relacionada con este grupo de números.

Máis aínda que vos poida parecer mentira, esta non foi a maior contribución ás matemáticas de Leonardo de Pisa, senón que a máis importante contribución foi a difusión do sistema numérico decimal coa inclusión do díxito de valor nulo (o cero) por occidente.

Máis en erdati | O número de ouro

Advertisements

One Comment Add yours

  1. Camperillo di:

    Mais ala incluso da fórmula recursiva x_{n}=x_{n-1}+x_{n-2} con iterantes iniciais x_{1}=1, x_{2}=1 existe unha fórmula explícita para a sucesión de Fibonacci:

    (φ^n+(1-φ)^n)/sqrt(5)

Deixar unha resposta

introduce os teu datos ou preme nunha das iconas:

Logotipo de WordPress.com

Estás a comentar desde a túa conta de WordPress.com. Sair / Cambiar )

Twitter picture

Estás a comentar desde a túa conta de Twitter. Sair / Cambiar )

Facebook photo

Estás a comentar desde a túa conta de Facebook. Sair / Cambiar )

Google+ photo

Estás a comentar desde a túa conta de Google+. Sair / Cambiar )

Conectando a %s